Pada gerak rotasi, semua benda yang berputar akan terus berputar sampai ada sesuatu yang menghentikannya. Hal ini menunjukkan bahwa benda bergerak berputar memiliki inersia yang kita sebut inersia rotasi, atau disebut momentum sudut. secara matematis dinyatakan sebagai berikut :
L = I ω
I = momen inersia
ω = kecepatan sudut
sama halnya dengan momentum liner, momentum sudut juga merupakan besaran vektor yang memiliki arah. Arah momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukan dengan kaidah tangan kanan:
Empat jari yang tertekuk menunjukkan arah putaran gerak rotasi dan ibu jari menunjukkan arah momentum sudut. Jika momentum sudut arahnya ke atas, maka nilainya positif, sebaliknya jika arah momentum sudut berarah ke bawah, maka nilainya negatif.
Pada gerak translasi, hukum 2 Newton yang dikaitkan dengan momentum menyatakan bahwa
karena terdapat analogi gerak translasi dengan gerak rotasi maka momen gaya total benda menjadi
Jika momen gaya total luarnya sama dengan nol maka diferensial dari momentum sudut juga bernilai nol
Artinya jika resultan momen gaya total dari luar sama dengan nol maka momentum sudut total bernilai konstan. pernyataan ini dinyatakan sebagai hukum kekekalan momentum sudut.
Contoh adanya hukum kekekalan momentum sudut ini dapat kita jumpai pada penampilan seorang penari es. Dimana mereka dapat menunjukkan sebuah atraksi berputar dengan bertumpu pada satu kaki.
Perhatikan kecepatan putaran penari es. Saat penari es berputar cepat mereka akan melipat tangannya di depan dada mereka dan pada saat mengurangi kecepatan putarannya mereka akan merentangkan tangannya.
Persamaan dari hukum kekekalan momentum sudut dinyatakan dengan persamaan
Dengan
L1 = momentum sudut awal
L2 = momentum sudut akhir
I1 = momen inersia awal
I2 = momen inersia akhir
ω1 = kecepatan sudut awal
ω2 = kecepatan sudut akhir
Contoh soal
Soal Pertama
Dua buah silinder pejal terhubung satu sama lain dengan seutas tali seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3. Jari-jari roda A 5 cm, sedangkan jari-jari roda B adalah 10 cm. Tentukan perbandingan momentum sudut silinder A dan silinder B.
Penyelesaian
Dari soal dapat kita ketahui rA = 5 cm, rB = 10 cm. Perbandingan momentum sudut kedu silinder pejal adalah
Kedua silinder terhubung oleh tali maka kecepatan translasinya sama sehingga vA = vB
Kemudian pada gerak rotasi kecepatan sudutnya adalah ω = v/R maka persamaan di atas akan menjadi
Soal Kedua
Seorang penari es dengan tangan terlentang berputar dengan kecepatan sudut 40 rad/s di atas lantai licin yang datar. Jika penari es tersebut melipat tangannya kecepatan sudutnya berubah menjadi 60 rad/s. Tentukan perbandingan momen inersia penari es saat tangan terlentang dan pada saat tangan terlipat.
Penyelesaian
Dari soal kita dapat ketahui bahwa ω1= 40 rad/s ; ω2= 60 rad/s. Untuk mengetahui perbandingan momen inersia ini kita dapat menggunakan hukum kekekalan momentum sudut karena resultan momen gaya luarnya adalah nol
Soal Ketiga
Sebuah cakram horizontal dengan inersia I1 berputar dengan kecepatan sudut terhadap suatu poros vertikal tanpa gesekan. Cakram kedua dengan momen inersia I2 dan mula-mula tidak berputar, jatuh pada permukaan cakram pertama. Karena permukaan kasar, kedua cakram akhirnya mencapai kelajuan sudut yang sama yaitu ω. Tentukanlah perbandingan kecepatan sudut ω dan ω1 .
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa menggunakan hukum kekekalan momentum sudut sebagai berikut
Karena cakram ke-2 awalnya diam, maka kecepatan sudutnya adalah nol . Setelah dijatuhkan kecepatan sudut kedua cakram menjadi sama sehingga
Untuk memudahkan kita dalam memahami hubungan momen gaya, momen inersia, dan percepatan sudut kita bisa melakukan sebuah perobaan sederhana saat membuka pintu. Setelah memutar tuas pintu doronglah pintu tersebut tetap di bagian pegangan pintu kemudian perhatikan percepatan gerak rotasi dari pintu.
Kemudian coba lakukan hal yang sama ke beberapa titik sejajar mendekati engsel dengan menggunakan gaya dorong yang sama dan perhatikan percepatan gerak rotasi pintu.
Apa yang anda temukan? Dengan menggunakan gaya yang sama besar, semakin dekat titik yang didorong maka semakin kecil pula percepatan gerak rotasi pintu. Hal ini menunjukkan bahwa semakin pendek lengan gaya maka percepatan gerak rotasi benda juga semakin mengecil atau dengan kata lain percepatan sudut gerak rotasi benda berbanding lurus dengan momen gaya yang bekerja pada benda tersebut.
Terdapat analogi antara hukum 2 Newton dengan momen gaya. Hukum 2 Newton menunjukkan formulasi matematika dengan persamaan ∑F=ma. Gaya analog dengan momen gaya, massa analog dengan momen inersia, dan percepatan translasi analog dengan percepatan sudut sehingga persamaan momen gaya dapat dinyatakan
Dengan
∑τ = momen gaya total pada benda (Nm)
I = momen inersia benda (kgm²)
α = percepatan sudut gerak rotasi (rad/s²)
Karena formulasi momen gaya adalah hasil kali gaya dengan lengan gaya, ∑τ=∑Fr, maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut
Contoh soal
Soal Pertama
Sebuah silinder pejal bermassa 3 kg berotasi melalui sumbunya dengan kecepatan sudut ω = (4+2t) rad/s. Berapakah momen gaya yang bekerja jika jari-jari silinder sebesar 10 cm
Penyelesaian
Berdasarkan informasi dari soal dapat kita ketahui m = 3 kg, ω = (4+2t) rad/s, R = 10 cm = 10-¹ m
Untuk mengetahui momen gaya total yang bekerja maka kita harus mengetahui nilai percepatan sudut dan momen inersia dari benda yang berotasi.
Momen inersia silinder pejal :
Perceapatan sudut yang dialami benda dapat kita hitung dengan menggunakan formulasi diferensial dari kecepatan sudut
Dengan demikian, besar momen gaya total yang dialami silinder pejal adalah
Soal Kedua
Sebuah tali dililitkan pada sebuah katrol berdiameter 20 cm. Kemudian tali tersebut ditarik sehingga katrol berputar pada porosnya. Jika katrol bermassa 0,5 kg dan tegangan tali yang bekerja 30 N tentukanlah kecepatan sudut yang dialami katrol setelah berotasi selama 2 detik!
Penyelesaian
Dari soal kita dapat mengetahui beberapa besaran, diantaranya d = 20 cm maka R = 10 cm = 10-1 m; m = 0,5 kg; F = 3 N; t = 2 s
Langkah pertama yang bisa dikerjakan adalah menentukan momen inersia dari katrol. Katrol memiliki bentuk yang yang mirip dengan silinder pejal, sehingga momen inersianya bisa dihitung menjadi
Setelah itu kita bisa substitusikan nilai momen inersia pada persamaan
Kecepatan sudut setelah 2 detik dapat dihitung dengan menggunakan persamaan
karena benda awalnya diam, maka kecepatan sudut awalnya adalah nol sehingga
Komentar
Posting Komentar