PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN

materi dan tugas 1

Selain sudut-sudut istimewa, menentukan nilai perbandingan trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan daftar, table trigonometri, atau kalkulator. Tabel trigonometri hanya memuat sudut-sudut di kuadran I dan selebihnya tidak. Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dengan sudut lebih dari 90° dapat dilakukan dengan menempatkan sudut tersebut ke kuadran.

Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Dengan begitu, besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut

  

1. Sudut dalam kuadran I  terletak antara 0^o dan 90^o (0° < x < 90°), semua bernilai positif
2. Sudut dalam kuadran II terletak antara 90^o dan 180^o (90° < x < 180°), hanya nilai sinus yang positif (cosinus dan tangent bernilai negatif)
3. Sudut dalam kuadran III  terletak antara 180^o dan  270^o (180° < x < 270°), hanya nilai tangen yang positif (cosinus dan sinus bernilai negatif)
4. Sudut dalam kuadran IV  terletak antara 270^o dan  360^o (270° < x < 360°), hanya nilai cosinus yang positif (sinus dan tangent bernilai negatif)

Untuk memudahkan mengingatnya kita dapat menggunakan kalimat semua sindikat tangannya kosong maksudnya adalah semua, sinus, tangent dan cosinus

Dari pengelompokan kuadran di atas, berlaku rumus-rumus untuk sudut-sudut yang berelasi berikut ini.

a) Kuadran I

sin (90 - α)^o = cos α ^o

cos (90 - α)^o = sin α ^o

tan (90 - α)^o = cot α ^o

b) Kuadran II

sin (180 - α)^o = sin α ^o

cos (180 - α)^o = -cos α ^o

tan (180 - α)^o = -tan α ^o

c) Kuadran III

sin (180 + α)^o = -sin α ^o

cos (180 + α)^o = -cos α ^o

tan (180 + α)^o = tan α ^o

d) Kuadran IV

sin (360 - α)^o = -sin α ^o

cos (360 - α)^o = cos α ^o

tan (360 - α)^o = -tan α ^o

e) Sudut Negatif

sin (- α)^o = -sin α ^o

cos (- α)^o = cos α ^o

tan (- α)^o = -tan α ^o

f) Perioditas Trigonometri

sin (n.360 + α)^o = sin α ^o

cos (n.360 + α)^o = cos α ^o

tan (n.360 +  α)^o = tan α ^o

Mungkin rumus-rumus di atas jika dihafal terlalu banyak. Untuk itu, saya sarankan untuk menggunakan rumus point b, c, dan d saja serta f karena jika diperhatikan rumus-rumus point b,c, dan d tersebut tidak mengubah fungsi trigonometrinya (sin (180 - α)^o = sin α ^o perhatikan yang diwarnai). Yang perlu diperhatikan adalah penambahan tandanya (tanda negatif). Untuk lebih jelasnya perhatikanlah contoh berikut.

Contoh

Tentukanlah nilai perbandingan trigonometri berikut ini:

1.        Sin 210^o
2.      Cos 120^o
3.        Tan 225^o
4.       Cos 300^o

Penyelesaian.       

1. Sin 210^o

Sudut 210^o terletak pada kuadran III (sin bernilai negatif), sehingga

Sin 210^o = sin (180 + 30)^o = -sin 30^o = - ½

2. Cos 120^o

Sudut 120^o terletak pada kuadran II (cos bernilai negatif), sehingga

Cos 120^o = cos (180 – 60)^o = -cos 60^o = -½

3.Tan 225^o

Sudut 225^o terletak pada kuadran III (tan bernilai positif), sehingga

Tan 225^o = tan (180 + 45)^o = tan 45 = 1

4. Cos 300^o

Sudut 300^o terletak pada kuadran IV (cos bernilai positif), sehingga

Cos 300^o = cos (360 – 60)^o = cos 60^o = ½

LATIHAN SOAL :

1.      Nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut di kuadran I!

a.       sin 290°

b.      cos 880°

c.       tan 105°

d.      sec 220°

2.      Tentukan nilai trigonometri berikut!

a.       sin 120°

b.      tan 300°

c.       cos 600°

d.      cosec 225°

3.      Diketahui tan 20° = p. Nyatakan nilai trigonometri berikut dalam p!

a.       sin 160°

b.      cos 340°

c.       tan 110°

d.      cotan 250°

materi dan tugas 2

Pengertian Trigonometri

Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang membahas tentang hubungan antara sisi dan sudut dari suatu segi serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut.

Trigonometri juga identik dengan fungsi trigonometri yang memuat sinus (dosa) , cosinus (cos) , tangen (tan) , cosecan (cosec) , secan (sec) , dan cotangen (cotan) yang kesemuanya digunakan sebagai sarana untuk memperbesar tampilan di layar lebar dan sudut yang terbentuk dari dua sisi buah dalam sebuah segitiga.

Pengertian Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau kalimat terbuka yang dapat memuat fungsi-fungsi trigonometri dan bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsinya. Kebenaran suatu relasi atau kalimat terbuka itu merupakan identitas yang perlu dibuktikan kebenarannya.

Perbandingan Trigonometri

Lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut yang dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 = x2 + y2 dapat diperoleh sesuai trigonometri, yaitu antara lain sebagai berikut ini:

mengalihkan trigonometri

Macam - Macam Rumus Identitas Trigonometri

Trigonometri juga memiliki beberapa macam rumus, yaitu seabagi berikut ini:

1. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

• Rumus Untuk Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut:

cos (A + B) = cos A cos B - dosa A dosa B
cos (A - B) = cos A cos B + dosa A dosa B

• Rumus Untuk Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut:

dosa (A + B) = dosa A cos B + cos A dosa B
dosa (A - B) = dosa A cos B - cos A dosa B

• Rumus Untuk Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut:

tan A (A + B) = tan A + tan B / 1 - tan A x tan B
tan A (A - B) = tan A - tan B / 1 + tan A x tan B

2. Rumus Trigonometri Untuk Sudut Rangkap

• Dengan Menggunakan Rumus sin (A + B) Untuk A = B:

dosa 2A = dosa (A + B)
= dosa A cos A + cos A dosa A
= 2 dosa A cos A
Jadi, dosa 2A = 2 dosa A cos A

• Dengan Menggunakan Rumus cos (A + B) Untuk A = B:

cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A - sin A sin
= cos 2A - sin 2A …………… (1)

Atau

Cos 2A = cos 2A - sin 2A
= cos 2A - (1 - cos 2A)
= cos 2A - 1 + cos 2A
= 2 cos 2A - 1 ……………… (2)

Atau

Cos 2A = cos 2A - sin 2A
= (1 - sin 2A) - sin 2A
= 1 - 2 sin 2A ……………… (3)

Dari Peramaan (1), (2), (3) diatas diperoleh rumus yaitu:

Cos 2A = cos 2A - sin 2A
= 2 cos 2A - 1
= 1 - 2 sin 2A

• Dengan Menggunakan Rumus tan (A + B) Untuk A = B:

tan 2A = tan (A + A)
              = tan A + tan A / 1 tan A x tan A
              = 2 tan A / 1 - tan 2A
Jadi, tan 2A = 2 tan A / 1 - tan 2A

Contoh Soal Identitas Trigonometri

Contoh Soal:

Jika tan 5 ° = p. Tentukan:

• tan 50 °

Penyelesaian:

tan 50 ° = tan (45 ° + 5 °)

= tan 45 ° + tan 5 ° / 1 - tan 45 ° x tan 5 °

= 1 + p / 1 - p

Jadi, hasil adalah = 1 + p / 1 - p